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自考本科:04184線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料第三章向量空間(1)

2018-09-04 10:00:29
來源:湖南自考生網(wǎng)

以下是湖南自考生網(wǎng)為考生收集、整理的自考本科:04184線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料第三章向量空間(1)

定理3  若向量組中有部分組線性相關(guān),則整體組也必相關(guān),或者整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).

 

定理4  無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).

(三)向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩

 

  1.向量組等價的概念

若向量組S可以由向量組R線性表出,向量組R也可以由向量組S線性表出,則稱這兩個向量組等價.

 

  2.向量組的極大無關(guān)組

設(shè)T為一個向量組,若存在T的一個部分組S,它是線性無關(guān)的,且T中任一個向量都能由S線性表示,則稱部分向量組S為T的一個極大無關(guān)組.

顯然,線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身.

對于線性相關(guān)的向量組,一般地,它的極大無關(guān)組不是唯一的,但有以下性質(zhì):

定理1  向量組T與它的任一個極大無關(guān)組等價,因而T的任意兩個極大無關(guān)組等價.

定理2  向量組T的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同.

 

  3.向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系

把向量組T的任意一個極大無關(guān)組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組T的秩.

把矩陣A的行向量組的秩,稱為A的行秩,把A的列向量組的秩稱為A的列秩.

定理:對任一個矩陣A,A的列秩=A的行秩=秩(A)

此定理說明,對于給定的向量組,可以按照列構(gòu)造一個矩陣A,然后用矩陣的初等行變換法來求出向量組的秩和極大無關(guān)組.

3  求出下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組,并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出:

(四)向量空間

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