湖南學(xué)士學(xué)位考試學(xué)業(yè)水平測試大綱：《高等數(shù)學(xué)》KC019

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湖南學(xué)士學(xué)位考試學(xué)業(yè)水平測試大綱：《高等數(shù)學(xué)》KC019

一、考試要求

《高等數(shù)學(xué)》（上冊）課程考試旨在考察一元微積分學(xué)知識的基礎(chǔ)上，注重考察學(xué)生對于基本概念和定理的理解與掌握、熟練的基本運(yùn)算能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決簡單的實(shí)際問題的能力，以及一定程度的抽象思維能力和邏輯推理能力。本門課程考核要求由低到高共分為“了解”、“掌握”、“熟練掌握”三個層次。其含義：了解，指學(xué)生能懂得所學(xué)知識，能在有關(guān)問題中認(rèn)識或再現(xiàn)它們；掌握，指學(xué)生清楚地理解所學(xué)知識（例如定理的條件與結(jié)論，公式的表述與使用范圍等），并且能在基本運(yùn)算和簡單應(yīng)用中正確地使用它們；熟練掌握，指學(xué)生能較為深刻理解所學(xué)知識，在此基礎(chǔ)上能夠準(zhǔn)確、熟練地使用它們進(jìn)行有關(guān)推導(dǎo)和計算，以及分析解決較為簡單的實(shí)際問題。

二、考試內(nèi)容

第一章  函數(shù)與極限

第一節(jié) 映射與函數(shù)

1.掌握函數(shù)的定義和定義域的求法；

2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；

3.掌握復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念；

4.熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；

    5.了解初等函數(shù)的定義。

  第二節(jié) 數(shù)列的極限

1.了解數(shù)列極限的定義；

2.熟練掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。

第三節(jié) 函數(shù)的的極限

1.了解函數(shù)極限的定義；

2.掌握函數(shù)極限的性質(zhì)。

第四節(jié) 無窮小與無窮大

1.了解無窮小的概念及與函數(shù)極限的關(guān)系；

2、了解無窮大的概念、與無窮小的關(guān)系及鉛直漸近線的含義。

第五節(jié) 極限運(yùn)算法則

1.掌握無窮小的運(yùn)算規(guī)律；

2.熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則。

第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限

1.了解極限存在的夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則；

2.掌握兩個重要極限，并會利用它們求極限；

第七節(jié) 無窮小的比較

1.掌握無窮小的比較；

2.熟練掌握利用等價無窮小求極限。

第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1.了解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一個區(qū)間上連續(xù)的概念；

2.掌握間斷點(diǎn)的求法及其類型的判斷。

第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1.了解反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；

2.了解初等函數(shù)的連續(xù)性。

第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值、最小值定理、介值定理；

2.掌握零點(diǎn)存在定理。

{C}第二章 {C} 導(dǎo)數(shù)與微分

      第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念

1.了解導(dǎo)數(shù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念及二者的關(guān)系；

2.掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則

1.熟練掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；

2.了解反函數(shù)求導(dǎo)法。

第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)

1.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；

2.掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法及幾個常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。

第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率

1.掌握隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)計算及對數(shù)求導(dǎo)法；

2.了解相關(guān)變化率。

  第五節(jié) 函數(shù)的微分

1.了解微分的概念與幾何意義，掌握微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

2.掌握基本初等函數(shù)的微分公式，了解微分運(yùn)算法則和一階微分形式不變性及微分的應(yīng)用。

第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

  第一節(jié) 微分中值定理

1. 掌握費(fèi)馬引理、羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）中值定理；

2.了解柯西（Cauchy）中值定理。

  第二節(jié) 洛必達(dá)法則

 1.熟練掌握用洛必達(dá)（L’Hospital）法則求型未定式的極限；

     1.掌握洛必達(dá)（L’Hospital）法則求其他未定式的極限。

      第三節(jié) 泰勒公式

 了解泰勒中值定理及幾個常見函數(shù)的麥克勞林公式及應(yīng)用。

  第四節(jié)  函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間的方法；

2.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和求拐點(diǎn)的方法。

  第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值

1.了解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法；

2.掌握函數(shù)的最大值最小值的求法，會求解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。

  第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪

掌握描繪函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）的步驟與方法。

第七節(jié) 曲率

 了解曲率和曲率半徑的概念并掌握曲率和曲率半徑的計算。

第四章 不定積分

  第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)

 了解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)，熟練掌握基本積分公式。

{C}第二節(jié) {C}換元積分法

熟練掌握不定積分的兩類換元積分法。

{C}第三節(jié) {C}分部積分法

熟練掌握不定積分的分部積分法。

第四節(jié) 有理函數(shù)的積分

掌握求簡單的有理函數(shù)的積分。

{C}第五章 {C}定積分

      第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)

  了解可積的條件，掌握定積分的定義、幾何意義與性質(zhì)。

      第二節(jié) 微積分基本公式

1.了解積分上限的函數(shù)，掌握其求導(dǎo)定理；

2.熟練掌握牛頓（Newton）-萊布尼茲（Leibniz）公式。

      第三節(jié) 定積分的換元法與分部積分法

  熟練掌握用定積分的換元法和分部積分法求積分。

      第四節(jié) 反常積分

  了解反常積分的概念以及基本計算方法。

{C}第六章 {C}定積分的應(yīng)用

第一節(jié) 定積分的元素法

 了解定積分的元素法。

      第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

掌握用定積分求一些幾何量，如面積、體積、弧長等，熟練掌握直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積的求法。

第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用

了解用定積分求一些物理量，如功、水壓力、引力等。

{C}第七章 {C}微分方程

  第一節(jié) 微分方程的基本概念

了解微分方程的概念，掌握方程的階、解、通解及特解的概念。

{C}第二節(jié) {C}可分離變量的微分方程

熟練掌握可分離變量微分方程的解法。

第三節(jié) 齊次方程

      掌握齊次方程的解法。

      第四節(jié) 一階線性微分方程

  熟練掌握一階線性微分方程的解法。

第五節(jié) 可降階的高階微分方程

掌握用降階法解形如，和的微分方程。

第六節(jié) 高階線性微分方程

  掌握線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。

  第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程

  1. 熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；

2. 了解高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

第八節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程

熟練掌握兩類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法；

三、考試方式

1、考試類別：閉卷，筆試。

2、記分方式：百分制，滿分為100分。

3、考試時量：90分鐘。

4、試題總數(shù)：約30題。

5、命題的指導(dǎo)思想和原則

命題的總的指導(dǎo)思想是：全面考查學(xué)生對本課程的基本概念、基本原理和主要知識點(diǎn)學(xué)習(xí)、理解和掌握的情況。命題的原則是：題目數(shù)量多、分值小，范圍廣，最基本的知識一般要占50%左右，稍微靈活一點(diǎn)的題目占30%左右，較難的題目占20%左右。

{C}6、{C}題目類型 

     可包含下列題型：

（1）單選題（在本題的每一小題的備選答案中，只有一個答案是正確的，請把你認(rèn)為正確答案的題號，填入題干的括號內(nèi)。多選不給分。）

（2）填空題

（3）判斷題（下列各題，你認(rèn)為正確的，請在題干的括號內(nèi)打“P”，錯的打“Í”。每題分，共分）

（4）計算題

（5）應(yīng)用題

（6）證明題

7、各類題目的特點(diǎn)及考試的目的

    （1）填空題。一般來說有填寫內(nèi)容較少，而且十分準(zhǔn)確，并具有答案的唯一性特點(diǎn)。這是比較容易得分的題目。所填寫的內(nèi)容多半是一些基本概念、公式、結(jié)論、方法、法則、原理等的應(yīng)用。用這類題目進(jìn)行考試的目的，主要是考查學(xué)生對一些最基本的知識能否做到少而精地理解、掌握和記憶。

   （2）單選題。是從一個問題的若干個答案中選出一個正確的答案。這類題目是把正確答案與相近的答案或似是而非的答案并列，它具有簡單、明確、客觀的特點(diǎn)。它是既容易得分，又容易丟分的題目。這類題目不需要學(xué)生在復(fù)習(xí)時死記硬背，但對基本結(jié)論要理解準(zhǔn)確。用這類題目進(jìn)行考試的目的，主要是考查學(xué)生對基本知識理解的準(zhǔn)確程度。

    （3）判斷正誤題。它實(shí)質(zhì)上與選擇題相似，主要是給一些正確或錯誤命題，讓學(xué)生指出哪個是正確的，哪個是錯誤的。它也具有簡單、明確、客觀的特點(diǎn)，也是容易得分和丟分的題目。用這類題目進(jìn)行考試，也是考查學(xué)生對基本知識掌握的程度。

   （4）計算題。要求根據(jù)相關(guān)定律、定理和公式，對所給出的數(shù)值或量進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算，得出正確答案。主要考查學(xué)生基本的計算技能以及一定的推理判斷能力和邏輯思維能力等。 

（5）證明題。要求根據(jù)已知條件，求證結(jié)論的成立。這類題目主要是考查學(xué)生對一些定理、命題和公式的掌握與運(yùn)用能力，綜合性強(qiáng)，有一定難度。這類題目的隱含條件不易發(fā)現(xiàn)，但往往又是解題的關(guān)鍵。

   （6）應(yīng)用題。要求根據(jù)已知條件及相關(guān)的數(shù)學(xué)理論和計算方法，建立簡單的數(shù)學(xué)模型，解決相關(guān)實(shí)際問題。這類題目主要考查學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。

8、答題要求

同學(xué)們拿到考卷后，首先要把各類題目的意思和要求弄清楚，切忌看錯題目，答非所問。題目的回答要求如下：

（1）對于填空題，要求填寫準(zhǔn)確，無需解釋。

（2）對于單選題，要求選擇正確，不可多選。

（3）對于判斷題，要求判斷正確。

（4）對于計算題，要求解題思路清楚，步驟完整，格式規(guī)范化。這類題一般按演算步驟計分。如果不對，但演算步驟對了，仍可得一定的分?jǐn)?shù)。

（5）證明題，答題時要求找出已知條件和求證結(jié)果之間的關(guān)系，找出相關(guān)定理、公式、命題進(jìn)行推導(dǎo)。推導(dǎo)的方法一般有論證、反證法和數(shù)學(xué)歸納法。證明過程中，要求逐步的、條理清楚地寫出推導(dǎo)過程并注明所運(yùn)用的定理、公式、命題。一般按演算步驟計分。

（6）應(yīng)用題，要求詳細(xì)、充分、清楚地闡述建立模型、理論推導(dǎo)和計算的過程。

四、教材及參考書目

教 材：同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)》第七版（上冊），高等教育出版社，2014。

主要參考書目：

(1) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)附冊 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》第七版，高等教育出版社，2014。

(2) 彭富連主編,《高等數(shù)學(xué)》（上冊），湖南師范大學(xué)出版社，2007。

(3) 彭富連主編,《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》上冊，湖南師范大學(xué)出版社,2006。