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湖南學(xué)士學(xué)位考試學(xué)業(yè)水平測試大綱:《高等數(shù)學(xué)》KC019
一、考試要求
《高等數(shù)學(xué)》(上冊)課程考試旨在考察一元微積分學(xué)知識的基礎(chǔ)上,注重考察學(xué)生對于基本概念和定理的理解與掌握、熟練的基本運(yùn)算能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析解決簡單的實(shí)際問題的能力,以及一定程度的抽象思維能力和邏輯推理能力。本門課程考核要求由低到高共分為“了解”、“掌握”、“熟練掌握”三個層次。其含義:了解,指學(xué)生能懂得所學(xué)知識,能在有關(guān)問題中認(rèn)識或再現(xiàn)它們;掌握,指學(xué)生清楚地理解所學(xué)知識(例如定理的條件與結(jié)論,公式的表述與使用范圍等),并且能在基本運(yùn)算和簡單應(yīng)用中正確地使用它們;熟練掌握,指學(xué)生能較為深刻理解所學(xué)知識,在此基礎(chǔ)上能夠準(zhǔn)確、熟練地使用它們進(jìn)行有關(guān)推導(dǎo)和計算,以及分析解決較為簡單的實(shí)際問題。
二、考試內(nèi)容
第一章 函數(shù)與極限
第一節(jié) 映射與函數(shù)
1.掌握函數(shù)的定義和定義域的求法;
2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性;
3.掌握復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念;
4.熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形;
5.了解初等函數(shù)的定義。
第二節(jié) 數(shù)列的極限
1.了解數(shù)列極限的定義;
2.熟練掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。
第三節(jié) 函數(shù)的的極限
1.了解函數(shù)極限的定義;
2.掌握函數(shù)極限的性質(zhì)。
第四節(jié) 無窮小與無窮大
1.了解無窮小的概念及與函數(shù)極限的關(guān)系;
2、了解無窮大的概念、與無窮小的關(guān)系及鉛直漸近線的含義。
第五節(jié) 極限運(yùn)算法則
1.掌握無窮小的運(yùn)算規(guī)律;
2.熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則。
第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限
1.了解極限存在的夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則;
2.掌握兩個重要極限,并會利用它們求極限;
第七節(jié) 無窮小的比較
1.掌握無窮小的比較;
2.熟練掌握利用等價無窮小求極限。
第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)
1.了解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一個區(qū)間上連續(xù)的概念;
2.掌握間斷點(diǎn)的求法及其類型的判斷。
第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性
1.了解反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;
2.了解初等函數(shù)的連續(xù)性。
第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
1.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界性與最大值、最小值定理、介值定理;
2.掌握零點(diǎn)存在定理。
{C}第二章 {C} 導(dǎo)數(shù)與微分
第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念
1.了解導(dǎo)數(shù)、單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念及二者的關(guān)系;
2.掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。
第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則
1.熟練掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法;
2.了解反函數(shù)求導(dǎo)法。
第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)
1.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念;
2.掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法及幾個常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。
第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率
1.掌握隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)計算及對數(shù)求導(dǎo)法;
2.了解相關(guān)變化率。
第五節(jié) 函數(shù)的微分
1.了解微分的概念與幾何意義,掌握微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系;
2.掌握基本初等函數(shù)的微分公式,了解微分運(yùn)算法則和一階微分形式不變性及微分的應(yīng)用。
第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
第一節(jié) 微分中值定理
1. 掌握費(fèi)馬引理、羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理;
2.了解柯西(Cauchy)中值定理。
第二節(jié) 洛必達(dá)法則
1.熟練掌握用洛必達(dá)(L’Hospital)法則求型未定式的極限;
1.掌握洛必達(dá)(L’Hospital)法則求其他未定式的極限。
第三節(jié) 泰勒公式
了解泰勒中值定理及幾個常見函數(shù)的麥克勞林公式及應(yīng)用。
第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性
1.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求單調(diào)區(qū)間的方法;
2.掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和求拐點(diǎn)的方法。
第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值
1.了解函數(shù)的極值概念,掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法;
2.掌握函數(shù)的最大值最小值的求法,會求解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。
第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪
掌握描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸近線)的步驟與方法。
第七節(jié) 曲率
了解曲率和曲率半徑的概念并掌握曲率和曲率半徑的計算。
第四章 不定積分
第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)
了解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì),熟練掌握基本積分公式。
{C}第二節(jié) {C}換元積分法
熟練掌握不定積分的兩類換元積分法。
{C}第三節(jié) {C}分部積分法
熟練掌握不定積分的分部積分法。
第四節(jié) 有理函數(shù)的積分
掌握求簡單的有理函數(shù)的積分。
{C}第五章 {C}定積分
第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)
了解可積的條件,掌握定積分的定義、幾何意義與性質(zhì)。
第二節(jié) 微積分基本公式
1.了解積分上限的函數(shù),掌握其求導(dǎo)定理;
2.熟練掌握牛頓(Newton)-萊布尼茲(Leibniz)公式。
第三節(jié) 定積分的換元法與分部積分法
熟練掌握用定積分的換元法和分部積分法求積分。
第四節(jié) 反常積分
了解反常積分的概念以及基本計算方法。
{C}第六章 {C}定積分的應(yīng)用
第一節(jié) 定積分的元素法
了解定積分的元素法。
第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用
掌握用定積分求一些幾何量,如面積、體積、弧長等,熟練掌握直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積的求法。
第三節(jié) 定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用
了解用定積分求一些物理量,如功、水壓力、引力等。
{C}第七章 {C}微分方程
第一節(jié) 微分方程的基本概念
了解微分方程的概念,掌握方程的階、解、通解及特解的概念。
{C}第二節(jié) {C}可分離變量的微分方程
熟練掌握可分離變量微分方程的解法。
第三節(jié) 齊次方程
掌握齊次方程的解法。
第四節(jié) 一階線性微分方程
熟練掌握一階線性微分方程的解法。
第五節(jié) 可降階的高階微分方程
掌握用降階法解形如,和的微分方程。
第六節(jié) 高階線性微分方程
掌握線性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。
第七節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程
1. 熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法;
2. 了解高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。
第八節(jié) 常系數(shù)非齊次線性微分方程
熟練掌握兩類二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法;
三、考試方式
1、考試類別:閉卷,筆試。
2、記分方式:百分制,滿分為100分。
3、考試時量:90分鐘。
4、試題總數(shù):約30題。
5、命題的指導(dǎo)思想和原則
命題的總的指導(dǎo)思想是:全面考查學(xué)生對本課程的基本概念、基本原理和主要知識點(diǎn)學(xué)習(xí)、理解和掌握的情況。命題的原則是:題目數(shù)量多、分值小,范圍廣,最基本的知識一般要占50%左右,稍微靈活一點(diǎn)的題目占30%左右,較難的題目占20%左右。
{C}6、{C}題目類型
可包含下列題型:
(1)單選題(在本題的每一小題的備選答案中,只有一個答案是正確的,請把你認(rèn)為正確答案的題號,填入題干的括號內(nèi)。多選不給分。)
(2)填空題
(3)判斷題(下列各題,你認(rèn)為正確的,請在題干的括號內(nèi)打“P”,錯的打“Í”。每題分,共分)
(4)計算題
(5)應(yīng)用題
(6)證明題
7、各類題目的特點(diǎn)及考試的目的
(1)填空題。一般來說有填寫內(nèi)容較少,而且十分準(zhǔn)確,并具有答案的唯一性特點(diǎn)。這是比較容易得分的題目。所填寫的內(nèi)容多半是一些基本概念、公式、結(jié)論、方法、法則、原理等的應(yīng)用。用這類題目進(jìn)行考試的目的,主要是考查學(xué)生對一些最基本的知識能否做到少而精地理解、掌握和記憶。
(2)單選題。是從一個問題的若干個答案中選出一個正確的答案。這類題目是把正確答案與相近的答案或似是而非的答案并列,它具有簡單、明確、客觀的特點(diǎn)。它是既容易得分,又容易丟分的題目。這類題目不需要學(xué)生在復(fù)習(xí)時死記硬背,但對基本結(jié)論要理解準(zhǔn)確。用這類題目進(jìn)行考試的目的,主要是考查學(xué)生對基本知識理解的準(zhǔn)確程度。
(3)判斷正誤題。它實(shí)質(zhì)上與選擇題相似,主要是給一些正確或錯誤命題,讓學(xué)生指出哪個是正確的,哪個是錯誤的。它也具有簡單、明確、客觀的特點(diǎn),也是容易得分和丟分的題目。用這類題目進(jìn)行考試,也是考查學(xué)生對基本知識掌握的程度。
(4)計算題。要求根據(jù)相關(guān)定律、定理和公式,對所給出的數(shù)值或量進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算,得出正確答案。主要考查學(xué)生基本的計算技能以及一定的推理判斷能力和邏輯思維能力等。
(5)證明題。要求根據(jù)已知條件,求證結(jié)論的成立。這類題目主要是考查學(xué)生對一些定理、命題和公式的掌握與運(yùn)用能力,綜合性強(qiáng),有一定難度。這類題目的隱含條件不易發(fā)現(xiàn),但往往又是解題的關(guān)鍵。
(6)應(yīng)用題。要求根據(jù)已知條件及相關(guān)的數(shù)學(xué)理論和計算方法,建立簡單的數(shù)學(xué)模型,解決相關(guān)實(shí)際問題。這類題目主要考查學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。
8、答題要求
同學(xué)們拿到考卷后,首先要把各類題目的意思和要求弄清楚,切忌看錯題目,答非所問。題目的回答要求如下:
(1)對于填空題,要求填寫準(zhǔn)確,無需解釋。
(2)對于單選題,要求選擇正確,不可多選。
(3)對于判斷題,要求判斷正確。
(4)對于計算題,要求解題思路清楚,步驟完整,格式規(guī)范化。這類題一般按演算步驟計分。如果不對,但演算步驟對了,仍可得一定的分?jǐn)?shù)。
(5)證明題,答題時要求找出已知條件和求證結(jié)果之間的關(guān)系,找出相關(guān)定理、公式、命題進(jìn)行推導(dǎo)。推導(dǎo)的方法一般有論證、反證法和數(shù)學(xué)歸納法。證明過程中,要求逐步的、條理清楚地寫出推導(dǎo)過程并注明所運(yùn)用的定理、公式、命題。一般按演算步驟計分。
(6)應(yīng)用題,要求詳細(xì)、充分、清楚地闡述建立模型、理論推導(dǎo)和計算的過程。
四、教材及參考書目
教 材:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編,《高等數(shù)學(xué)》第七版(上冊),高等教育出版社,2014。
主要參考書目:
(1) 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編,《高等數(shù)學(xué)附冊 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》第七版,高等教育出版社,2014。
(2) 彭富連主編,《高等數(shù)學(xué)》(上冊),湖南師范大學(xué)出版社,2007。
(3) 彭富連主編,《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》上冊,湖南師范大學(xué)出版社,2006。